江西政法干警考试行测数量关系——不定方程（组）问题
发布时间：2015-08-27 11:08:22 来源：一佳公务员考试网 点击量：
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不定方程（组）问题是指未知量的个数大于方程的个数这样的问题。这类问题的求解基本上可以有三种思路：一是把不定方程（组）降为定方程（组）进行求解；二是通过整体消去法直接得到问题的解；三是利用不等式关系来求解。对于第一种求解思路，我们一般有三种方法，其一是消元法，其二是换元法，其三是枚举法，这些方法将在后面具体的题目中进行详细讲解；对于第二种求解思路，并不是每位考生都能够灵活掌握，所以考生应视自身的情况而对待；至于第三种求解思路，它有特定的适用情况，所以也不是经常使用，后面会有具体的例题来介绍这些方法和思路。
【例1】（2009年国考）
甲买了3支签字笔、7支圆珠笔和1支铅笔，共花了32元，乙买了4支同样的签字笔、10支圆珠笔和1支铅笔，共花了43元。如果同样的签字笔、圆珠笔、铅笔各买一支，共用多少钱？
A．21元 B．11元
C．10元 D．17元
【一佳名师解析】此题答案为C，消元法可解。设签字笔、圆珠笔和铅笔的单价分别是X、Y、Z，于是有：3X＋7Y＋Z＝32，4X＋10Y＋Z＝43，这是一个典型的不定方程组的问题，它理论上有无穷多个解，只是问题并不是要求X、Y或Z的值，而是X＋Y＋Z的值，因此解可能唯一（在此题中一定是唯一的，否则没有答案），于是我们可以得出这样的一个结论，即“X＋Y＋Z的值并不随着X、Y、Z的具体取值而改变”，所以我们大可以令其中最复杂的未知量（此题中是Y最复杂，因为它前面的系数最大）为0，这样就可以把原问题降维成一个二元一次方程组来进行求解，即令Y＝0（消元），得到：3X＋Z＝32，4X＋Z＝43，解得X＝11，Z＝-1，于是X＋Y＋Z＝10，因此答案为C。
事实上，如果用整体消去法求解，那么需要考生对数字更加敏感，即进行这样的操作：对第一个方程两边同时乘以3，第二个方程两边同时乘以2，然后两式相消，可以直接得到X＋Y＋Z＝3×32－2×43＝10。显然，这并不是每个人都能够一眼就看出来的。
其实，用换元法求解也未尝不可，即设X＋Y＋Z＝T，于是方程组转化为：2X＋6Y＋T＝32，3X＋9Y＋T＝43，容易看出这两个方程中X和Y的系数比都是0：3，于是可以令X＋3Y＝S，则方程组又转化为2S＋T＝32，3S＋T＝43，易得T＝10。
综上，我们用了三种不同的方法对这样的问题进行求解，但最直观、最容易、最具有可操作性的方法却是第一种方法，说到底，消元法中唯一体现了技术要求的就是它本身的解题思路。
【变1】（2008年国考）
甲、乙、丙三种货物，如果购买甲3件、乙7件、丙1件需花3.15元，如果购买甲4件、乙10件、丙1件需花4.2元，那么购买甲、乙、丙各1件需花多少钱？
A．1.05 B．1.4
C．1.85 D．2.1
【一佳名师解析】此题答案为A，消元法可解。思路同上，令Y＝0，则有：3X＋Z＝3.15，4X＋Z＝4.2，解得X＝1.05，Z＝0，即X＋Y＋Z＝1.05，因此答案为A。
核心提示：一般来说，几乎每一道数学运算题都不止一种解题思路及方法，考生要学会触类旁通、举一反三。
【例2】（2011年北京）
小李用150元钱购买了16元一个的书包、10元一个的计算器和7元一支的钢笔寄给灾区儿童，如果他买的每一样物品数量都不相同，书包数量最多而钢笔数量最少，那么他买的计算器数量比钢笔多多少个？
A．1 B．2
C．3 D．4
【一佳名师解析】此题答案为B，枚举法可解。设书包、计算器、钢笔的个数分别是X、Y、Z，则有16X＋10Y＋7Z＝150，限定条件是X、Y、Z各不相同，X最大，且Z最小，注意到等式的奇偶关系，7Z要求一定是偶数，Z又最小，于是猜测Z＝2，当Z＝2时，16X＋10Y＝136，显然10Y的尾数一定是0，那么16X的尾数必定要求是6，只有X＝6才会满足要求（X要最大），于是Y＝4，显然计算器数量比钢笔多2个，因此答案为B。
【变2】（2012年国考）
超市将99个苹果装进两种包装盒，大包装盒每个装12个苹果，小包装盒每个装5个苹果，共用了十多个盒子刚好装完。问两种包装盒相差多少个？
A．3 B．4
C．7 D．13
【一佳名师解析】此题答案为D，枚举法可解。设大包装、小包装的个数分别为X和Y，则根据题目已知条件，有：12X＋5Y＝99，限定条件是X＋Y＞10，注意到等式的奇偶关系，知Y一定是奇数，那么5Y的尾数一定是5，即要求99－12X的尾数是5，试探一下，当X＝2和X＝7时满足条件，即当X＝2时，Y＝15，满足X＋Y＞10，而X＝7时，Y＝3，不满足X＋Y＞10，因此两种包装盒相差Y－X＝13，因此答案为D。
核心提示：枚举法一般是在一定的限定条件下进行所有的可能性枚举，当然我们在枚举的过程中应充分利用诸如奇偶质合等数字特征关系，在计算时特别关注尾数情况，这样才不至于陷入漫长的枚举之路。
【例3】（2010年4•25联考）
A、B、C、D、E是5个不同的整数，两两相加的和共有8个不同的数值，分别是17、25、28、31、34、39、42、45，则这5个数中能被6整除的有几个？
A．0 B．1
C．2 D．3
【一佳名师解析】此题答案为C，枚举法可解。由于5个数两两相加一般情况下可以得到10个不同的数值，但问题中只有8个不同的数值，说明其中有两对重复的数值。不防设A＜B＜C＜D＜E，那么显然会有如下的方程组成立：
①A＋B＝17，A＋C＝25；②D＋E＝45，C＋E＝42。
显然这属于一个不定方程组问题（5个未知量4个方程），由方程组①，可以得到B＝C－8，由方程组②，可以得到D＝C＋3，把得到的这两个等式相加，进一步得到B＋D＝2C－5，注意到这个等式的奇偶关系，知B＋D肯定是奇数，那么它可能是31，也可能是39，考虑B＋D＝31（不会太大），那么C＝18，由①和②的关系可以进一步得到A＝7，B＝10，D＝21，E＝24，均满足要求，可以知道C和E均能被6整除，因此答案为C。
【变3】（2010年9•18联考）
已知
，A、B为自然数，且A≥B，那么A有几个不同的值？
A．2 B．3
C．4 D．5
【一佳名师解析】此题答案为B，枚举法可解。注意限定条件A≥B，对等式两边同时乘以B（想想为什么要乘以B，而不是乘以A？），得到4B/15＝B/A＋1≤2，即4B≤30，则B的可能情况是1、2、3、4、5、6、7，分别验证一下，发现当B＝4时，A＝60，当B＝5时，A＝15，当B＝6时，A＝10，这三种情况都可以满足题目条件，因此答案为B。
核心提示：这是一道比较难的题目，在考试时其实是没有这么多时间来分析的，所以这类题目应该用猜的方法，当然，在猜之前先尽量排除，很明显B和D项不对（注意42能被6整除，结合整除的第一个性质，只能是偶数个数能被6整除），而A项过于绝对，且C属于形式中项，因此猜C的可能性更大。
【例4】（2008年湖南）
建造一个容积为8立方米，深为2米的长方体无盖水池。如果池底和池壁的造价分别为120元/平米和80元/平米，那么水池的最低总造价是（ ）元。
A．1560 B．1660
C．1760 D．1860
【一佳名师解析】此题答案为C。设这个水池的长和宽分别为X和Y米，则有XY＝8/2＝4，根据长方体的表面积公式，可以得到水池的总造价＝120×XY＋80×2×(2X＋2Y)＝320(X＋Y)＋480，由基本不等式：X2＋Y2≥2XY，当且仅当X＝Y时成立，此时X＝Y＝2，于是最低总造价为320×4＋480＝1760，因此答案为C。
【变4】（2010年黑龙江）
某单位选举工会主席，每人投票从甲乙丙选一人。已知该单位共52人，并且在计票过程中某时刻，甲得到17票，乙得到16票，丙得到11票，如果得票比其他俩人都多的候选人将成为工会主席，那么甲至少再得多少票就能保证当选？
A．2 B．3
C．4 D．5
【一佳名师解析】此题答案为C。总共有52张票，此时甲乙丙得到的票数总和为17＋16＋11＝44张，还剩下8张票没有投，由于要求甲保证当选，而三人中甲的得票数最多（并注意乙只比甲少得1张票），所以，最保险的方法就是把剩下的8张票平分成两份，一份给甲，一份给乙和丙，此时甲的得票数在任何情况下都会高于其他人，因此答案为C。
核心提示：基本不等式有几种形式：
注意等号成立的条件。
【例1】（2009年国考）
甲买了3支签字笔、7支圆珠笔和1支铅笔，共花了32元，乙买了4支同样的签字笔、10支圆珠笔和1支铅笔，共花了43元。如果同样的签字笔、圆珠笔、铅笔各买一支，共用多少钱？
A．21元 B．11元
C．10元 D．17元
【一佳名师解析】此题答案为C，消元法可解。设签字笔、圆珠笔和铅笔的单价分别是X、Y、Z，于是有：3X＋7Y＋Z＝32，4X＋10Y＋Z＝43，这是一个典型的不定方程组的问题，它理论上有无穷多个解，只是问题并不是要求X、Y或Z的值，而是X＋Y＋Z的值，因此解可能唯一（在此题中一定是唯一的，否则没有答案），于是我们可以得出这样的一个结论，即“X＋Y＋Z的值并不随着X、Y、Z的具体取值而改变”，所以我们大可以令其中最复杂的未知量（此题中是Y最复杂，因为它前面的系数最大）为0，这样就可以把原问题降维成一个二元一次方程组来进行求解，即令Y＝0（消元），得到：3X＋Z＝32，4X＋Z＝43，解得X＝11，Z＝-1，于是X＋Y＋Z＝10，因此答案为C。
事实上，如果用整体消去法求解，那么需要考生对数字更加敏感，即进行这样的操作：对第一个方程两边同时乘以3，第二个方程两边同时乘以2，然后两式相消，可以直接得到X＋Y＋Z＝3×32－2×43＝10。显然，这并不是每个人都能够一眼就看出来的。
其实，用换元法求解也未尝不可，即设X＋Y＋Z＝T，于是方程组转化为：2X＋6Y＋T＝32，3X＋9Y＋T＝43，容易看出这两个方程中X和Y的系数比都是0：3，于是可以令X＋3Y＝S，则方程组又转化为2S＋T＝32，3S＋T＝43，易得T＝10。
综上，我们用了三种不同的方法对这样的问题进行求解，但最直观、最容易、最具有可操作性的方法却是第一种方法，说到底，消元法中唯一体现了技术要求的就是它本身的解题思路。
【变1】（2008年国考）
甲、乙、丙三种货物，如果购买甲3件、乙7件、丙1件需花3.15元，如果购买甲4件、乙10件、丙1件需花4.2元，那么购买甲、乙、丙各1件需花多少钱？
A．1.05 B．1.4
C．1.85 D．2.1
【一佳名师解析】此题答案为A，消元法可解。思路同上，令Y＝0，则有：3X＋Z＝3.15，4X＋Z＝4.2，解得X＝1.05，Z＝0，即X＋Y＋Z＝1.05，因此答案为A。
核心提示：一般来说，几乎每一道数学运算题都不止一种解题思路及方法，考生要学会触类旁通、举一反三。
【例2】（2011年北京）
小李用150元钱购买了16元一个的书包、10元一个的计算器和7元一支的钢笔寄给灾区儿童，如果他买的每一样物品数量都不相同，书包数量最多而钢笔数量最少，那么他买的计算器数量比钢笔多多少个？
A．1 B．2
C．3 D．4
【一佳名师解析】此题答案为B，枚举法可解。设书包、计算器、钢笔的个数分别是X、Y、Z，则有16X＋10Y＋7Z＝150，限定条件是X、Y、Z各不相同，X最大，且Z最小，注意到等式的奇偶关系，7Z要求一定是偶数，Z又最小，于是猜测Z＝2，当Z＝2时，16X＋10Y＝136，显然10Y的尾数一定是0，那么16X的尾数必定要求是6，只有X＝6才会满足要求（X要最大），于是Y＝4，显然计算器数量比钢笔多2个，因此答案为B。
【变2】（2012年国考）
超市将99个苹果装进两种包装盒，大包装盒每个装12个苹果，小包装盒每个装5个苹果，共用了十多个盒子刚好装完。问两种包装盒相差多少个？
A．3 B．4
C．7 D．13
【一佳名师解析】此题答案为D，枚举法可解。设大包装、小包装的个数分别为X和Y，则根据题目已知条件，有：12X＋5Y＝99，限定条件是X＋Y＞10，注意到等式的奇偶关系，知Y一定是奇数，那么5Y的尾数一定是5，即要求99－12X的尾数是5，试探一下，当X＝2和X＝7时满足条件，即当X＝2时，Y＝15，满足X＋Y＞10，而X＝7时，Y＝3，不满足X＋Y＞10，因此两种包装盒相差Y－X＝13，因此答案为D。
核心提示：枚举法一般是在一定的限定条件下进行所有的可能性枚举，当然我们在枚举的过程中应充分利用诸如奇偶质合等数字特征关系，在计算时特别关注尾数情况，这样才不至于陷入漫长的枚举之路。
【例3】（2010年4•25联考）
A、B、C、D、E是5个不同的整数，两两相加的和共有8个不同的数值，分别是17、25、28、31、34、39、42、45，则这5个数中能被6整除的有几个？
A．0 B．1
C．2 D．3
【一佳名师解析】此题答案为C，枚举法可解。由于5个数两两相加一般情况下可以得到10个不同的数值，但问题中只有8个不同的数值，说明其中有两对重复的数值。不防设A＜B＜C＜D＜E，那么显然会有如下的方程组成立：
①A＋B＝17，A＋C＝25；②D＋E＝45，C＋E＝42。
显然这属于一个不定方程组问题（5个未知量4个方程），由方程组①，可以得到B＝C－8，由方程组②，可以得到D＝C＋3，把得到的这两个等式相加，进一步得到B＋D＝2C－5，注意到这个等式的奇偶关系，知B＋D肯定是奇数，那么它可能是31，也可能是39，考虑B＋D＝31（不会太大），那么C＝18，由①和②的关系可以进一步得到A＝7，B＝10，D＝21，E＝24，均满足要求，可以知道C和E均能被6整除，因此答案为C。
【变3】（2010年9•18联考）
已知
，A、B为自然数，且A≥B，那么A有几个不同的值？A．2 B．3
C．4 D．5
【一佳名师解析】此题答案为B，枚举法可解。注意限定条件A≥B，对等式两边同时乘以B（想想为什么要乘以B，而不是乘以A？），得到4B/15＝B/A＋1≤2，即4B≤30，则B的可能情况是1、2、3、4、5、6、7，分别验证一下，发现当B＝4时，A＝60，当B＝5时，A＝15，当B＝6时，A＝10，这三种情况都可以满足题目条件，因此答案为B。
核心提示：这是一道比较难的题目，在考试时其实是没有这么多时间来分析的，所以这类题目应该用猜的方法，当然，在猜之前先尽量排除，很明显B和D项不对（注意42能被6整除，结合整除的第一个性质，只能是偶数个数能被6整除），而A项过于绝对，且C属于形式中项，因此猜C的可能性更大。
【例4】（2008年湖南）
建造一个容积为8立方米，深为2米的长方体无盖水池。如果池底和池壁的造价分别为120元/平米和80元/平米，那么水池的最低总造价是（ ）元。
A．1560 B．1660
C．1760 D．1860
【一佳名师解析】此题答案为C。设这个水池的长和宽分别为X和Y米，则有XY＝8/2＝4，根据长方体的表面积公式，可以得到水池的总造价＝120×XY＋80×2×(2X＋2Y)＝320(X＋Y)＋480，由基本不等式：X2＋Y2≥2XY，当且仅当X＝Y时成立，此时X＝Y＝2，于是最低总造价为320×4＋480＝1760，因此答案为C。
【变4】（2010年黑龙江）
某单位选举工会主席，每人投票从甲乙丙选一人。已知该单位共52人，并且在计票过程中某时刻，甲得到17票，乙得到16票，丙得到11票，如果得票比其他俩人都多的候选人将成为工会主席，那么甲至少再得多少票就能保证当选？
A．2 B．3
C．4 D．5
【一佳名师解析】此题答案为C。总共有52张票，此时甲乙丙得到的票数总和为17＋16＋11＝44张，还剩下8张票没有投，由于要求甲保证当选，而三人中甲的得票数最多（并注意乙只比甲少得1张票），所以，最保险的方法就是把剩下的8张票平分成两份，一份给甲，一份给乙和丙，此时甲的得票数在任何情况下都会高于其他人，因此答案为C。
核心提示：基本不等式有几种形式：
注意等号成立的条件。责编:一佳教育
